Nếu bạn tung con súc sắc hai lần, xác suất để tổng nhỏ hơn 5 lần là bao nhiêu

Bạn có lẽ ít nhất cũng có hiểu biết sơ đẳng về xác suất rời rạcđo lường khả năng xảy ra “sự kiện” khi có một số khả năng hữu hạn. Ví dụ: khi cuộn một con xúc sắc sáu mặt thông thường, xác suất nhận được bất kỳ số cụ thể nào là $ 1/6 $. Xác suất của một sự kiện là số cách sự kiện có thể xảy ra chia cho số cách mà “bất cứ điều gì” có thể xảy ra.

Quảng cáo

Đối với một ví dụ phức tạp hơn một chút, hãy xem xét trường hợp của hai viên xúc xắc sáu mặt. Xúc xắc khác biệt về mặt vật lý, có nghĩa là lăn 2–5 khác với tung 5–2; mỗi lần là một sự kiện có khả năng xảy ra như nhau trong tổng số 36 cách mà xúc xắc có thể hạ cánh, vì vậy mỗi cách có xác suất là 1 đô la / 36 đô la.

Hầu hết các sự kiện thú vị không đơn giản như vậy. Điều thú vị hơn là xác suất tung ra một tổng nhất định trong số các khả năng từ 2 đến 12. Rõ ràng là không đúng khi tất cả các tổng đều có khả năng xảy ra như nhau: cách duy nhất để cuộn số 2 là quay 1–1, trong khi có nhiều cách để cuộn a 7. Bởi vì số khả năng xảy ra khá nhỏ và bởi vì một mẫu hình nhanh chóng trở nên rõ ràng, nên dễ dàng thấy rằng xác suất của các tổng khác nhau là: $$ \ eqalign {P (2) = P (12) & = 1/36 \ cr P (3) = P (11) & = 2/36 \ cr P (4) = P (10) & = 3/36 \ cr P (5) = P (9) & = 4 / 36 \ cr P (6) = P (8) & = 5/36 \ cr P (7) & = 6/36 \ cr} $$ Ở đây chúng tôi sử dụng $ P (n) $ có nghĩa là “xác suất lăn an $ n $. ” Vì chúng ta đã tính đúng tất cả các khả năng nên tổng của tất cả các xác suất này là $ 36/36 = 1 $; xác suất để tổng có một trong 2 đến 12 là 1, bởi vì không có khả năng nào khác .

Nghiên cứu về xác suất cũng quan tâm đến những câu hỏi khó hơn; ví dụ, giả sử hai viên xúc xắc được tung nhiều lần. Tính trung bình, tổng sẽ là bao nhiêu? Theo ngôn ngữ của xác suất, mức trung bình này được gọi là gia trị được ki vọng trong tổng số. Điều này thoạt đầu hơi gây hiểu nhầm, vì nó không cho chúng ta biết điều gì sẽ xảy ra khi hai viên xúc xắc được tung ra, nhưng chúng ta mong đợi giá trị trung bình dài hạn sẽ như thế nào.

Giả sử rằng hai viên xúc xắc được tung 36 triệu lần. Dựa trên xác suất, chúng tôi dự đoán khoảng 1 triệu cuộn là 2, khoảng 2 triệu là 3, v.v., với cuộn 7 đứng đầu danh sách với khoảng 6 triệu. Tổng của tất cả các cuộn sẽ là 1 triệu nhân 2 cộng với 2 triệu nhân 3, v.v. và chia cho 36 triệu, chúng ta sẽ nhận được giá trị trung bình: $$ \ eqalign {\ bar x & = (2 \ cdot 10 ^ 6 + 3 (2 \ cdot 10 ^ 6) + \ cdot + 7 (6 \ cdot 10 ^ 6) + \ cdots + 12 \ cdot10 ^ 6) {1 \ over 36 \ cdot 10 ^ 6} \ cr & = 2 {10 ^ 6 \ over 36 \ cdot 10 ^ 6} +3 {2 \ cdot 10 ^ 6 \ over 36 \ cdot 10 ^ 6} + \ cdot + 7 {6 \ cdot 10 ^ 6 \ over 36 \ cdot 10 ^ 6} + \ cdots + 12 {10 ^ 6 \ over 36 \ cdot 10 ^ 6} \ cr & = 2P (2) + 3P (3) + \ cdots + 7P (7) + \ cdots + 12P (12) \ cr & = \ sum_ {i = 2} ^ {12} iP (i) = 7.} $$ Không có gì đặc biệt về 36 triệu trong phép tính này. Bất kể số cuộn là bao nhiêu, khi chúng ta đơn giản hóa mức trung bình, chúng ta sẽ nhận được cùng một $ \ ds \ sum_ {i = 2} ^ {12} iP (i) $. Trong khi giá trị trung bình thực tế của một số lượng lớn cuộn sẽ không chính xác là 7, giá trị trung bình phải gần bằng 7 khi số lượng cuộn lớn. Ngược lại, nếu giá trị trung bình không gần bằng 7, chúng ta nên nghi ngờ rằng viên xúc xắc không công bằng.

Một biến, chẳng hạn như $ X $, có thể nhận các giá trị nhất định, mỗi giá trị có một xác suất tương ứng, được gọi là biến ngẫu nhiên; trong ví dụ trên, biến ngẫu nhiên là tổng của hai viên xúc xắc. Nếu các giá trị có thể có cho $ X $ là $ \ ds x_1 $, $ \ ds x_2 $,…, $ \ ds x_n $, thì giá trị mong đợi của biến ngẫu nhiên là $ \ ds E (X) = \ sum_ {i = 1} ^ n x_iP (x_i) $. Giá trị mong đợi còn được gọi là bần tiện.

Khi số giá trị có thể có của $ X $ là hữu hạn, chúng ta nói rằng $ X $ là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Trong nhiều ứng dụng của xác suất, số lượng các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên là rất lớn, thậm chí có thể là vô hạn. Để đối phó với trường hợp vô hạn, chúng ta cần một cách tiếp cận khác, và vì có một tổng liên quan, nên không hoàn toàn ngạc nhiên khi tích hợp hóa ra lại là một công cụ hữu ích. Sau đó, hóa ra rằng ngay cả khi số lượng khả năng lớn nhưng hữu hạn, thì việc giả sử rằng số lượng là vô hạn thường dễ dàng hơn. Ví dụ, giả sử rằng một phi tiêu được ném vào bảng phi tiêu. Vì bảng phi tiêu bao gồm một số nguyên tử hữu hạn, theo một nghĩa nào đó, chỉ có một số vị trí hữu hạn để phi tiêu hạ cánh, nhưng sẽ dễ dàng hơn để khám phá các xác suất liên quan bằng cách giả sử rằng phi tiêu có thể hạ cánh xuống bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng $ x $ – $ y $ thông thường.

Định nghĩa 9.8.1 Cho $ f: \ R \ to \ R $ là một hàm. Nếu $ f (x) \ geq 0 $ cho mỗi $ x $ và $ \ ds \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f (x) \, dx = 1 $ thì $ f $ là một hàm mật độ xác suất. $ \ vuông $

Chúng tôi kết hợp một hàm mật độ xác suất với một biến ngẫu nhiên $ X $ bằng cách quy định rằng xác suất để $ X $ nằm trong khoảng từ $ a $ đến $ b $ là $ \ ds \ int_a ^ bf (x) \, dx $. Do yêu cầu tích phân từ $ – \ infty $ đến $ \ infty $ là 1, tất cả các xác suất đều nhỏ hơn hoặc bằng 1 và xác suất để $ X $ nhận một số giá trị trong khoảng từ $ – \ infty $ đến $ \ infty $ là 1, đúng như vậy.

Ví dụ 9.8.2 Hãy xem xét lại ví dụ hai con xúc xắc; chúng ta có thể xem nó theo cách giống với cách tiếp cận hàm mật độ xác suất hơn. Hãy xem xét một biến ngẫu nhiên $ X $ nhận bất kỳ giá trị thực nào với các xác suất được cho bởi hàm xác suất mật độ trong hình 9.8.1. Hàm $ f $ chỉ bao gồm các cạnh trên cùng của hình chữ nhật, với các cạnh thẳng đứng được vẽ cho rõ ràng; hàm bằng 0 dưới $ 1,5 $ và trên $ 12,5 $. Diện tích của mỗi hình chữ nhật là xác suất để cuộn tổng vào giữa đáy của hình chữ nhật hoặc $$ P (n) = \ int_ {n-1/2} ^ {n + 1/2} f (x) \, dx. $$ Xác suất để cuộn số 4, 5 hoặc 6 là $$ P (n) = \ int_ {7/2} ^ {13/2} f (x) \, dx. $ $ Tất nhiên, chúng tôi cũng có thể tính toán các xác suất không có ý nghĩa trong bối cảnh của xúc xắc, chẳng hạn như xác suất để $ X $ nằm trong khoảng từ 4 đến 5,8 $. $ \ vuông $

Hình 9.8.1. Một hàm mật độ xác suất cho hai con xúc xắc.

Hàm $$ F (x) = P (X \ leq x) = \ int _ {- \ infty} ^ xf
Giả sử rằng $ a hàm mật độ xác suất đồng nhất trên $[a,b]$. và phân phối tương ứng là phân bố đồng đều trên $[a,b]$. $ \ vuông $

Ví dụ 9.8.4 Xét hàm $ \ ds f (x) = e ^ {- x ^ 2/2} $. Chúng ta có thể nói gì về $$ \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {- x ^ 2/2} \, dx? $$ Chúng ta không thể tìm thấy đạo hàm của $ f $, nhưng chúng ta có thể thấy rằng tích phân này là một số hữu hạn. Lưu ý rằng $ \ ds 0< f(x) = e^{-x^2/2} \leq e^{-x/2}$ for $|x| > 1 $. Điều này ngụ ý rằng vùng dưới $ \ ds e ^ {- x ^ 2/2} $ nhỏ hơn vùng dưới $ \ ds e ^ {- x / 2} $, trong khoảng thời gian $[1,\infty)$. It is easy to compute the latter area, namely $$\int_1^\infty e^{-x/2}\,dx = {2\over\sqrt{e}},$$ so $$\int_1^\infty e^{-x^2/2}\,dx$$ is some finite number smaller than $\ds 2/\sqrt{e}$. Because $f$ is symmetric around the $y$-axis,
$$\int_{-\infty }^{-1} e^{-x^2/2}\,dx=\int_1^\infty e^{-x^2/2}\,dx.$$ This means that $$ \int_{-\infty }^\infty e^{-x^2/2}\,dx =\int_{-\infty}^{-1} e^{-x^2/2}\,dx + \int_{-1}^1 e^{-x^2/2}\,dx + \int_1^\infty e^{-x^2/2}\,dx = A $$ for some finite positive number $A$. Now if we let $g(x) = f(x)/A$, $$ \int_{-\infty }^\infty g(x)\,dx = {1\over A}\int_{-\infty }^\infty e^{-x^2/2}\,dx = {1\over A} A = 1, $$ so $g$ is a probability density function. It turns out to be very useful, and is called the
standard normal probability density function or more informally the bell curve, giving rise to the standard normal distribution. See figure 9.8.2 for the graph of the bell curve. $\square$

Figure 9.8.2. The bell curve.

We have shown that $A$ is some finite number without computing it; we cannot compute it with the techniques we
have available. By using some techniques from multivariable calculus, it can be shown that $\ds A=\sqrt{2\pi}$.

Example 9.8.5 The exponential distribution has probability density function $$f(x) =\cases{ 0 & $x< 0$\cr ce^{-cx } & $x\geq 0$\cr}$$ where $c$ is a positive constant. $\square$

The mean or expected value of a random variable is quite useful, as hinted at in our discussion of dice. Recall that
the mean for a discrete random variable is $\ds E(X)=\sum_{i=1}^n x_iP(x_i)$. In the more general context we use an integral in place of the sum.

Definition 9.8.6 The mean of a random variable $X$ with probability density function $f$ is $\ds \mu = E(X)=\int_{-\infty }^\infty xf(x)\,dx$, provided the integral converges. $\square$

When the mean exists it is unique, since it is the result of an explicit calculation. The mean does not always exist.

The
mean might look familiar; it is essentially identical to the center of mass of a one-dimensional beam, as discussed in section 9.6. The probability density function $f$ plays the role of the physical density function, but now the “beam” has infinite length. If we consider only a finite portion of the beam, say between $a$ and $b$, then the center of mass is $$\bar x =
{\ds\int_a^b xf(x)\,dx\over\ds\int_a^b f(x)\,dx}.$$ If we extend the beam to infinity, we get $$ \bar x = {\ds\int_{-\infty}^\infty xf(x)\,dx\over \ds\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx} = \int_{-\infty}^\infty xf(x)\,dx = E(X), $$ because $\ds \int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$. In the center of mass interpretation, this integral is the total mass of the beam, which is always 1 when $f$ is a probability density function.

Example 9.8.7 The mean of the standard normal distribution
is $$\int_{-\infty}^\infty x {e^{-x^2/2}\over\sqrt{2\pi}}\,dx.$$ We compute the two halves: $$ \int_{-\infty}^0 x{e^{-x^2/2}\over\sqrt{2\pi}}\,dx= \lim_{D\to-\infty}\left.-{e^{-x^2/2}\over\sqrt{2\pi}}\right|_D^0= -{1\over\sqrt{2\pi}} $$ and $$ \int_0^\infty x{e^{-x^2/2}\over\sqrt{2\pi}}\,dx= \lim_{D\to\infty}\left.-{e^{-x^2/2}\over\sqrt{2\pi}}\right|_0^D= {1\over\sqrt{2\pi}}. $$ The sum of these is 0, which is the mean. $\square$

While the mean is very useful, it typically is not enough
information to properly evaluate a situation. For example, suppose we could manufacture an 11-sided die, with the faces numbered 2 through 12 so that each face is equally likely to be down when the die is rolled. The value of a roll is the value on this lower face. Rolling the die gives the same range of values as rolling two ordinary dice, but now each value occurs with probability $1/11$. The expected value of a roll is $$ {2\over 11} + {3\over 11} + \cdots + {12\over 11} = 7.$$ The mean does
not distinguish the two cases, though of course they are quite different.

If $f$ is a probability density function for a random variable $X$, with mean $\mu$, we would like to measure how far a “typical” value of $X$ is from $\mu$. One way to measure this distance is $\ds(X-\mu)^2$; we square the difference so as to measure all distances as positive. To get the typical such squared distance, we compute the mean. For two dice, for example, we get $$ (2-7)^2{1\over 36} + (3-7)^2{2\over
36} + \cdots + (7-7)^2{6\over 36} +\cdots (11-7)^2{2\over36} + (12-7)^2{1\over36} = {35\over36}. $$ Because we squared the differences this does not directly measure the typical distance we seek; if we take the square root of this we do get such a measure, $\ds\sqrt{35/36}\approx 2.42$. Doing the computation for the strange 11-sided die we get $$ (2-7)^2{1\over 11} + (3-7)^2{1\over 11} + \cdots + (7-7)^2{1\over 11} +\cdots (11-7)^2{1\over11} + (12-7)^2{1\over11} = 10, $$ with square root
approximately 3.16. Comparing 2.42 to 3.16 tells us that the two-dice rolls clump somewhat more closely near 7 than the rolls of the weird die, which of course we already knew because these examples are quite simple.

To perform the same computation for a probability density function the sum is replaced by an integral, just as in the computation of the mean. The expected value of the squared distances is $$V(X)= \int_{-\infty }^\infty (x-\mu)^2 f(x)\,dx,$$ called the variance. The
square root of the variance is the standard deviation, denoted $\sigma$.

Example 9.8.8 We compute the standard deviation of the standard normal distrubution. The variance is $${1\over\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-x^2/2}\,dx.$$ To compute the antiderivative, use integration by parts, with $u=x$ and $\ds dv=xe^{-x^2/2}\,dx$. This gives $$\int x^2 e^{-x^2/2}\,dx = -x e^{-x^2/2}+\int e^{-x^2/2}\,dx.$$ We cannot do the new integral, but we know its value when
the limits are $-\infty$ to $\infty$, from our discussion of the standard normal distribution. Thus $$ {1\over\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-x^2/2}\,dx= \left.-{1\over\sqrt{2\pi}}x e^{-x^2/2}\right|_{-\infty}^\infty + {1\over\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,dx= 0+{1\over\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi}=1. $$ The standard deviation is then $\ds \sqrt{1}=1$. $\square$

Example 9.8.9 Here is a simple example showing how these
ideas can be useful. Suppose it is known that, in the long run, 1 out of every 100 computer memory chips produced by a certain manufacturing plant is defective when the manufacturing process is running correctly. Suppose 1000 chips are selected at random and 15 of them are defective. This is more than the `expected’ number (10), but is it so many that we should suspect that something has gone wrong in the manufacturing process? We are interested in the probability that various numbers of
defective chips arise; the probability distribution is discrete: there can only be a whole number of defective chips. But (under reasonable assumptions) the distribution is very close to a normal distribution, namely this one: $$ f(x)={1\over\sqrt{2\pi}\sqrt{1000(.01)(.99)}} \exp\left({-(x-10)^2\over 2(1000)(.01)(.99)}\right), $$ which is pictured in figure 9.8.3 (recall that $\ds
\exp(x)=e^x$).

Figure 9.8.3. Normal density function for the defective chips example.

Now how do we measure how unlikely it is that under normal circumstances we would see 15 defective chips? We can’t compute the probability of exactly 15 defective chips, as this would be $\ds\int_{15}^{15} f(x)\,dx = 0$. We could compute $\ds\int_{14.5}^{15.5} f(x)\,dx \approx 0.036$; this means there is only a $3.6$% chance that the number of defective chips is 15. (We cannot
compute these integrals exactly; computer software has been used to approximate the integral values in this discussion.) But this is misleading: $\ds\int_{9.5}^{10.5} f(x)\,dx \approx 0.126$, which is larger, certainly, but still small, even for the “most likely” outcome. The most useful question, in most circumstances, is this: how likely is it that the number of defective chips is “far from” the mean? For example, how likely, or unlikely, is it that the number of defective chips is different
by 5 or more from the expected value of 10? This is the probability that the number of defective chips is less than 5 or larger than 15, namely $$ \int_{-\infty}^{5} f(x)\,dx + \int_{15}^{\infty} f(x)\,dx \approx 0.11. $$ So there is an $11$% chance that this happens—not large, but not tiny. Hence the 15 defective chips does not appear to be cause for alarm: about one time in nine we would expect to see the number of defective chips 5 or more away from the expected 10. How about 20? Here we
compute $$ \int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx + \int_{20}^{\infty} f(x)\,dx \approx 0.0015. $$ So there is only a $0.15$% chance that the number of defective chips is more than 10 away from the mean; this would typically be interpreted as too suspicious to ignore—it shouldn’t happen if the process is running normally.

The big question, of course, is what level of improbability should trigger concern? It depends to some degree on the application, and in particular on the consequences of getting
it wrong in one direction or the other. If we’re wrong, do we lose a little money? A lot of money? Do people die? In general, the standard choices are $5$% and $1$%. So what we should do is find the number of defective chips that has only, let us say, a $1$% chance of occurring under normal circumstances, and use that as the relevant number. In other words, we want to know when $$ \int_{-\infty}^{10-r} f(x)\,dx + \int_{10+r}^{\infty} f(x)\,dx < 0.01. $$ A bit of trial and error shows that
with $r=8$ the value is about $0.011$, and with $r=9$ it is about $0.004$, so if the number of defective chips is 19 or more, or 1 or fewer, we should look for problems. If the number is high, we worry that the manufacturing process has a problem, or conceivably that the process that tests for defective chips is not working correctly and is flagging good chips as defective. If the number is too low, we suspect that the testing procedure is broken, and is not detecting defective chips. $\square$

Exercises 9.8

Ex 9.8.1 Verify that $\ds \int_1^\infty e^{-x/2}\,dx=2/\sqrt{e}$.

Ex 9.8.2 Show that the function in example 9.8.5 is a probability density function. Compute the mean and standard deviation. (answer)

Ex 9.8.3 Compute the mean and standard deviation
of the uniform distribution on $[a,b]$. (Xem ví dụ 9.8.3.) (Câu trả lời)

Ví dụ 9.8.4 Giá trị kỳ vọng của một cuộn xúc xắc sáu mặt hợp lý là bao nhiêu? (câu trả lời)

Ví dụ 9.8.5 Tổng dự kiến ​​của một lần tung ba viên xúc xắc sáu mặt công bằng là bao nhiêu? (câu trả lời)

Ví dụ 9.8.6 Cho $ \ mu $ và $ \ sigma $ là các số thực với $ \ sigma> 0 $. Chứng tỏ rằng $$ N (x) = {1 \ over \ sqrt {2 \ pi} \ sigma} e ^ {- {(x- \ mu) ^ 2 \ over 2 \ sigma ^ 2}} $$ là một xác suất hàm mật độ. Bạn sẽ không thể tính tích phân này một cách trực tiếp; sử dụng phép thay thế để chuyển tích phân thành tích phân từ ví dụ 9.8.4. Hàm $ N $ là hàm mật độ xác suất của phân phối bình thường với giá trị trung bình $ \ mu $ và độ lệch chuẩn $ \ sigma $. Chứng tỏ rằng giá trị trung bình của phân phối chuẩn là $ \ mu $ và độ lệch chuẩn là $ \ sigma $.

Ví dụ 9.8.7 Cho $$ f (x) = \ case {\ ds {1 \ over x ^ 2} & $ x \ geq 1 $ \ cr 0 & $ x <1 $ \ cr} $$ Chứng tỏ rằng $ f $ là một xác suất hàm mật độ và phân phối không có giá trị trung bình.

Ví dụ 9.8.8 Cho $$ f (x) = \ case {x & $ -1 \ leq x \ leq 1 $ \ cr 1 & $ 1

Ví dụ 9.8.9 Nếu bạn có quyền truy cập vào phần mềm thích hợp, hãy tìm $ r $ để $$ \ int _ {- \ infty} ^ {10-r} f (x) \, dx + \ int_ {10 + r} ^ {\ infty} f (x) \, dx \ khoảng 0,05, $$ bằng cách sử dụng hàm của ví dụ 9.8.9. Thảo luận về tác động của việc sử dụng giá trị $ r $ mới này để quyết định xem có nên điều tra quy trình sản xuất chip hay không. (câu trả lời)

Xác suất để lăn 5 hoặc ít hơn với hai con xúc xắc là bao nhiêu?

Tóm tắt: Nếu bạn tung hai con xúc xắc sáu mặt hợp lý, xác suất để tổng là 5 hoặc thấp hơn là 5/18.

Xác suất nhận được tổng là 5 khi bạn tung 2 con xúc xắc là bao nhiêu?

Xác suất nhận được tổng là 5 khi tung hai con xúc xắc là 1/11.

Xác suất nhận được tổng nhỏ hơn 5 là bao nhiêu?

Vì có 6 khả năng xảy ra ô đỏ và 6 khả năng cho ô xanh, điều này dẫn đến tổng số 36 kết quả có thể xảy ra. Đặt tất cả những điều này lại với nhau, xác suất là 6/36 = 1/6.

Xác suất để cuộn được tổng 5 trên ít nhất một trong hai cuộn của một cặp số là bao nhiêu?

Xác suất để cuộn được tổng là 5 nếu cuộn được hai hình khối 6 cạnh đều nhau là 1/9.

Bạn đang xem chuyên mục Hỏi đáp
Thuộc website web giải đáp

Quảng cáo
Hỏi đáp

Leave a Reply

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

You may use these HTML tags and attributes:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>